什么叫斐波那契数列
什么叫斐波那契数列？
什么叫斐波那契数列？
如果我们把一些数字排成一排，就构成了一个数列。比如最简单的自然数列：1、2、3、4、5….偶数的数列2、4、6、8…等，后一项与前一项之差是不变的，这种数列称为等差数列。在比如1、2、4、8、16…这样的数列，后一项和前一项的比例是不变的，称为等比数列。
在自然界中，有一个最为神奇、几百年来一直被人们热议的数列，那就是“兔子数列”。
斐波那契
在中世纪的欧洲，由于宗教原因，科学和数学的发展非常缓慢。欧洲人还习惯于使用罗马数字计数。罗马数字一共有7个数字，分别是：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ（10）、Ⅼ（50）、Ⅽ（100）、Ⅾ（500）和Ⅿ（1000）。它的计数规则也比较复杂，比如，把两个数字并排，如果右边的数字比左边的数字小，则表示两个数字相加；如果右边的数字比左边的数字大，表示两个数字想减。此外还有许多复杂的规矩，使用起来非常不方便。
十二世纪时，欧洲数学才有了复苏的迹象。由于与阿拉伯国家的贸易和十字军东征等原因，欧洲同阿拉伯世界发生了联系，发现此时的阿拉伯正在使用1234567890这样的符号表示数字，十分方便。由于这种数字是从阿拉伯国家学习到的，所以称为阿拉伯数字。但是实际上，在公元前三世纪，印度人就已经在使用类似的方法表示数字了，阿拉伯数字是印度人发明的。在公元7世纪时，这种数字传入阿拉伯，后来又通过欧洲传播到全世界。
斐波那契（也叫做比萨的列奥纳多）是一个意大利数学家，年少时随着父亲在北非做生意，学习了阿拉伯数字。1200年他回到了意大利，在1202年写成了著作《计算之术》，这本书对欧洲的数学界有很大的影响。
兔子数列
在这本书中，斐波那契提出了一个问题：
在第一个月有一对刚出生的小兔子，在第二个月小兔子变成大兔子并开始怀孕，第三个月大兔子会生下一对小兔子，并且以后每个月都会生下一对小兔子。 如果每对兔子都经历这样的出生、成熟、生育的过程，并且兔子永远不死，那么兔子的总数是如何变化的？
我们不妨先来看个图：
第一个月只有一对兔宝宝，1对兔子。
第二个月兔宝宝变成大兔子，1对兔子。
第三个月大兔子生了一对兔宝宝，一大一小2对兔子。
第四个月大兔子继续生一对兔宝宝，小兔子变成大兔子。两大一小3对兔子。
….
我们把这个数列列表
我们发现会发现以下几个规律：
前一个月的大兔子对数就是下一个月的小兔子对数。
前一个月的大兔子和小兔子对数的和就是下个月大兔子的对数。
按照这个表格，我们会发现无论是小兔子对数、大兔子对数还是总对数，除了最初几个数字不一样之外，后面都是按照1、1、2、3、5、8、13…变化的，这个数列就称为兔子数列或者斐波那契数列。
兔子数列最大的特点就是前两项之和等于后一项，比如1 1=2、1 2=3、2 3=5、3 5=8、5 8=13…
我们用an表示一个数列的第n项，那么斐波那契数列的规律就是
这种式子称为递推式，也就是说可以从前面一项或几项，计算出后面一项的式子。再结合前两项a1=a2=1，就可以得到后面任意一项了。
神奇的数列
也许许多人觉得，斐波那契数列不过是浩如烟海的数学海洋中的一滴水。但是实际上，从这个数列被提出的那一天起，几百年来人们在许多领域都发现了它的影子。
在数学上，许多求“方法数”的问题，答案都是斐波那契数列。例如：如果我们要上一个N级台阶的楼梯，每次只能走1格或者2格，那么一共有多少种走法呢？
如果只有一级台阶，显然只有1种走法。
如果有两级台阶，显然可以走一步，也可以走两步，因此有2种走法。
如果有三级台阶，就有如图所示的3种走法。
1、2、3这三个数字都是斐波那契数。那么，如果有更多台阶怎么办呢？这就需要递推式了。
由于一步最多走连两个台阶，因此要到达第N级台阶，有两种方案：
走到第N-1级台阶上，然后走1级台阶跨到最上方；
走到第N-2级台阶上，然后一步走两级台阶跨到最上方。注意，从第N-2级台阶走1级到N-1级台阶这种情况已经计算在第一种情况中计算过了。
我们用a(N-1)和a(N-2)分别表示走到第N-1级和第N-2级台阶的方法数，那么走到第N级台阶的方法数就是：
aN= a(N-1) a(N-2)
显然，这就是斐波那契数列的递推公式，因此走台阶问题的解刚好是斐波那契数列。
生活中最典型的斐波那契数列应用是在植物学中。
大树在生长的过程中会长出分枝，如果我们从下到上数分枝个数，就会发现依次是1、1、2、3、5、8、13…等等，刚好是斐波那契数列。有科学家对这种现象的解释是与兔子繁殖后代相同：每过一段时间老树枝都会萌发新芽，而新芽成长为成熟的树枝后也会每隔一段时间萌发一次新芽。
另一个神奇的例子就是向日葵等植物。
如果我们仔细观察，就会发现向日葵盘内的种子形成两组螺旋线，一组是顺时针的，另一组是逆时针的。而这两组螺旋线的条数刚好是两个相邻的斐波那契数，小向日葵是34和55，大向日葵是144和233。松果种子、菜花表面也有类似的规律。
有科学家认为：这种排列可以使得种子的堆积最密集，最有利于植物繁衍后代。
八百年来，人们在各个领域都发现了斐波那契数列。尤其是十九世纪开始，人们发现了斐波那契数列在计算机、物理、化学等领域的应用，这个古老的数列焕发了新的青春。1963年，斐波那契协会成立，并出版了《斐波那契季刊》用以刊登与斐波那契数列相关的研究成果。