卢卡斯数列第一个数
关于卢卡斯数列和费波拿契数列恒定？
卢卡斯数列与斐波那契数列的联系？
卢卡斯数列 卢卡斯数列 (Lucas Sequence) 和费波拿契数列 (Fibonnacci Sequence) 有莫大关系。 先定义整数 P 和 Q 使 D = P2 - 4Q gt 0， 从而得到一个方程 x2 - Px Q = 0，其根为 a,b， 现定卢卡斯数列为： Un(P,Q) = (an - bn) / (a-b) 及 Vn(P,Q) = an bn 其中 n 为非负整数，得到 U0(P,Q) = 0、 U1(P,Q) = 1 、 V0(P,Q) = 2 、 V1(P,Q) = P、...... 与卢卡斯数列相关的恒等式如下： Um n = UmVn - anbnUm-n 、 Vm n = VmVn - anbnVm-n Um 1 = P*Um - Q*Um-1 、 Vm 1 = P*Vm - Q*Vm-1 (取 n = 1) U2n = UnVn 、 V2n = Vn2 - Qn U2n 1 = Un 1Vn - Qn 、 V2n 1 = Vn 1Vn - PQn 若取 (P,Q) = (1),1),我们有便。 Un 费波拿契数， 即 0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4141、 6765等。 而 Vn 为卢卡斯数 (Lucas Number)， 即 2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5781、 9349 等。 若取 (P,Q) = (2),1),我们有便便。 Un 为佩尔数 (Pell Number)， 即 0、 1、 2、 5、 12、 29、 70、 169、 408、 985、 2378、 5741等。 而 Vn 为佩尔 - 卢卡斯数 (Pell - Lucas Number) (详见另一篇文章《佩尔数列》) 即 2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。 这些都是数学界非常有名的数列。 卢卡斯数的性质 卢卡斯数 (简记 Ln) 费波拿契数有许多相似的性质。 Ln = Ln-1 Ln-2，不同的是 L1 = 1、 L2 = 3。 所以卢卡斯数有：1,3,4,11,18,18,47,77,123,122,123,122,...... (OEIS A000204) 1 和 这是哥恩 (John H. E. Cohn) 证明。素数，即卢卡斯素数， (Lucas Prime) 则有： 3,7,11,29,47,...... 。现在我知道最大的拟素数 (Probable Prime) 为 L574219 ，此数达 120005位之多。 我们有以下与卢卡斯数相关的恒等式： Ln2 - Ln-1Ln 1 = 5 (-1)n L12 L22 ...... Ln2 = LnLn 1 - 2 Lm n = (5FmFn LmLn) / 2 (式中的 Fn 为费波拿契数) Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2 Ln2 - 5Fn2 =4 (-1)n 如果我们考虑拟素数，那些通过费马小定理的人 (Fermat's Little Theorem) 逆命题测试的数量，有很大的机会是素数，或者可能是卡迈克尔数 (Carmichael Number)。那我们可把 n 推至 202667。但正因为 n 非常大，要判断这个数字的素性确实不容易。