矩阵可逆意味着什么
矩阵不可逆意味着什么？
矩阵不可逆意味着什么？
某矩阵不可逆意味着某矩阵为奇异矩阵。
1、奇异矩阵不可逆，即矩阵的行列式为0（|A|0，或者说矩阵不满秩），则矩阵A不可逆。
2、奇异矩阵是线性代数的概念，就是对应的行列式等于0的方阵。
3、首先看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。 然后再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。
4、由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论：可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。
5、如果A为奇异矩阵，则AX0有无穷解，AXb有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX0有且只有唯一零解，AXb有唯一解。
6、矩阵不可逆的充分必要条件：|A| 0；A的列(行)向量组线性相关；R(A) AX0 有非零解；A有特征值0；A不能表示成初等矩阵的乘积；A的等价标准形不是单位矩阵
为什么矩阵是可逆矩阵？
证明矩阵可逆的方法如下：
1、矩阵的秩小于n，那么这个矩阵不可逆，反之可逆。
2、矩阵行列式的值为0，那么这个矩阵不可逆，反之可逆。
3、对于齐次线性方程AX0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。
4、对于非齐次线性方程AXb，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。
逆矩阵：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：ABBAE。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。
定义：一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得ABBAE。并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。
性质
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）－1A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）－1（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即ABO（或BAO），则BO，ABAC（或BACA），则BC。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
证明：
1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有BC。
2、假设B和C均是A的逆矩阵，BBIB（AC）＝（BA）CICIC，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）－1和A，因此相等。
4、矩阵A可逆，有AA-1I。（A-1）TAT（AA-1）TITI，AT（A-1）T（A-1A）TITI5、由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。
而（AT）－1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）－1（A-1）T。1）在ABO两端同时左乘A-1（BAO同理可证），得A-1（AB）＝A-1OO而BIB（AA-1）BA-1（AB），故BO2）由ABAC（BACA同理可证），AB-ACA(B-C)O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1I。得B-CO，即BC。