阶乘的定义
阶乘定义？
阶乘定义？
阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp，1760～1826）于 1808 年发明的运算符号，是数学术语。
一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n!。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。
亦即n!=1×2×3×...×(n-1)×n。阶乘亦可以递归方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。
阶乘定义？
基本定义
一个正整数的阶乘（英语：factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作
。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。
亦即
。阶乘亦可以递归方式定义：
。
阶乘亦可定义于整个实数（负整数除外），其与伽玛函数的关系为：
的可质因子分解为
，如
。
计算
计算
时，当n不太大时，普通的科学计算机都可以计算，能够处理不超过
数值的计算机可以计算至
。
当n很大时，可以用斯特林公式估计：
更精确的估计是：
其中
定义扩展
阶乘的定义可推广到复数，其与伽玛函数的关系为：
伽玛函数满足
。
递进与递降阶乘
递进阶乘：
递降阶乘：
双阶
表示双阶乘，其定义为：
广义的双阶乘
无视上述定义的
因为即使值的N，双阶乘为奇数可扩展到最实数和复数z的注意到，当z是一个正的奇数则：
定义为所有复数除负偶数。
使用它的定义，半径为R的n维超球其体积可表示为：
多重阶乘
被称为n的k重阶乘，定义为：
广义的多重阶乘
能将多重阶乘推广到复数（甚至是四元数）：
hyper阶乘
hyper阶乘（hyperfactorial有时译作过度阶乘）写作
，其定义为：
hyper阶乘和阶乘差不多，但产生更大的数。hyper阶乘的增长速度却并非跟一般阶乘在大小上相差很远。前几项的hyper阶乘为：
超级阶乘
1995年，尼尔·斯洛恩和西蒙·普劳夫定义了超级阶乘（superfactorial）为首n个阶乘的积。一般来说
自然数阶幂
阶幂也称叠幂或者重幂记作
（感叹号！写在自然数的右上角），它的定义是将自然数1至n的数由大到小作幂指数重叠排列，数学定义如下：
其中
，前几项的重幂数为：
第5个重幂数是一个有183231位阿拉伯数字组成的超大自然数。
二次阶幂：
相应地，m次阶幂定义如下：
其中
，且
。