叙述罗尔中值定理
谈谈罗尔中值定理定理的应用及其意义？
谈谈罗尔中值定理定理的应用及其意义？
应用:罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
意义:
罗尔定理描述如下：如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f#39(ξ)=0。
谈谈罗尔中值定理定理的应用及其意义？
从几何意义上来理解的话，若在某闭区间内连续可导函数在该闭区间两端点处函数值相等，即连续光滑曲线在闭区间端点处等高，则曲线在该区间内存在水平切线。意义：若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
谈谈罗尔中值定理定理的应用及其意义？
罗尔中值定理
微分学中一条重要的定理
三大微分中值定理之一
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。罗尔定理描述如下：如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f#39(ξ)=0。
基本信息
中文名
罗尔中值定理
外文名
Rolle#39s theorem
别名
罗尔定理
证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 Mgtm，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f#39(ξ)=0。
另证：若 Mgtm ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f#39(ξ )lt=0，f#39(ξ-)gt=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
几何意义
若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
几种特殊情况
（1）有界开区间上的有界函数
若函数 在区间 上连续且可导，并有，则至少存在一个，使得。
（2）有界区间上的无界函数
若函数 在区间 上连续且可导，并有（或），则至少存在一个，使得。
（3）无界区间上的有界函数
若函数 在区间 上连续且可导，并有，则至少存在一个，使得。
（4）无界区间上的无界函数
若函数 在区间 上连续且可导，并有（或），则至少存在一个，使得。
（5）半无界区间上的有界函数
若函数 在区间[ )上连续且可导，并有，则至少存在一个，使得。
（6）半无界区间上的无界函数
若函数 在区间[ )上连续且可导，并有（或），则至少存在一个，使得。
证明
这里仅选择特殊情况（2）、（3）加以证明，其余证明的思路大致类似。
定理 若函数 在区间 上连续且可导，并有。则至少存在一个，使得。
证明：至少可取到一点，使，否则 恒等于，对于任意的实数，都有。
不妨设，取，显然。根据极限定义，由可得
，当 时，有， ， ，
任取，则有， 。
利用，类似地可知存在，使。
定理 若函数 在区间 上连续且可导，并有
。则至少存在一个，使得。
证明：任取，因为，所以至少存在一点，使。
类似地由 可知存在一点，使。
这就有了 且，
于是，在闭区间 上连续，则在闭区间 上必有 的最小值点，由于闭区间 的两个端点都不可能是 的最小值点，由此可知，根据费马定理可知。
范例解析
用罗尔中值定理证明：方程
3在 (0,1) 内有实根。
证明：设
则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，，
所以由罗尔中值定理，至少存在一点，使得，
所以，
所以ξ是方程在 (0,1) 内的一个实根。
结论得证。