经常听到good
经常听到good luck和bad luck，为何却很少听到hard-luck？
luck和bad luck，为何却很少听到hard-luck？
Good luck就是好运，祝你好运；Back love就是倒霉，走霉运没意思。hard, 中文的意思有：坚硬的，艰难的，难过的。例如 Hard to work就是工作艰难。所以hard luck可以翻译成难过的运势，就没有前面两个表现的意思那么干脆，直接。
the use of this hardcopy as an assist？
打错字了吧？应该是“determined”吧。 是临床医生决定使用这份打印版（文件）来帮助诊断工作的。 或者 使用这个打印版（文件）作为诊断辅助资料，是由临床医生决定的。
study math really hard什么意思？
我觉得你的翻译还是不错的。从字面上看，really hard是副词，修饰“学习数学”。我觉得意思是：很努力，很勤奋地学习数学。